三角化三角形鑲嵌
在幾何學中，三角化三角形鑲嵌（英語：Triakis triangular tiling）是一種平面鑲嵌，密鋪於歐幾里得平面。三角化三角形鑲嵌是將三角形鑲嵌中的每一個正三角形從重心分割為三個全等的鈍角等腰三角形所組成的鑲嵌，其分割出來的三角形角度為30-30-120。其面的布局以符號V3.12.12表示，每一個等腰三角形面有兩種類型的頂點：其中一個是三個三角形的公共頂點，另外一個是十二個三角形的公共頂點。
 歐幾里得平面 | ||
| 類別 | 半正鑲嵌對偶 平面鑲嵌 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 截角六邊形鑲嵌 | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |     | |
| 施萊夫利符號 | dt{6,3} | |
| 組成與佈局 | ||
| 面的種類 | 三角形 | |
| 面的佈局 | V3.12.12 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | p6m, [6,3], (*632) | |
| 旋轉對稱群 | p6, [6,3]+, (632) | |
| 特性 | ||
| 面可遞 | ||
| 圖像 | ||
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康威稱三角化三角形鑲嵌為kisdeltile[1]，因為它可以從三角形鑲嵌（deltille）透過三角化變換構造而得。
在日本，此種模式被稱為asanoha（日语：麻の葉、あさのは），其義為大麻葉，然而該名稱也適用於其它三角化形狀，例如三角化二十面體和三角化八面體[2]。
對偶鑲嵌
三角化三角形鑲嵌的對偶鑲嵌是由正三角形和正十二邊形組成的截角六邊形鑲嵌[3]
相關多面體與鑲嵌
三角化三角形鑲嵌是一系列截角多面體或鑲嵌的對偶之一，該系列從球面到平面一直延伸至雙曲平面。他們皆為面可遞，並具有(*n32)反射對稱。
對稱性 *n32[n,3] |
球面 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊型雙曲鑲嵌 | 仿緊型鑲嵌 | 非緊型鑲嵌 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *232 [2,3] D3h |
*332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] P6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
| 截角頂點布局 |  3.4.4 |
 3.6.6 |
 3.8.8 |
 3.10.10 |
 3.12.12 |
 3.14.14 |
 3.16.16 |
 3.∞.∞ |
 3.∞.∞ |
| 考克斯特紀號 施萊夫利符號 |
    t{2,3} |
t{3,3} |
 t{4,3} |
 t{5,3} |
 t{6,3} |
 t{7,3} |
 t{8,3} |
 t{∞,3} |
 t{∞,3} |
| 半正對偶圖 | |||||||||
| 三角化 頂點布局 |
 V3.4.4 |
 V3.6.6 |
 V3.8.8 |
 V3.10.10 |
V3.12.12 |
 V3.14.14 |
 V3.16.16 |
 V3.∞.∞ |
V3.∞.∞ |
| 考克斯特紀號 | 
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三角化三角形鑲嵌是截角六邊形鑲嵌的對偶镶嵌，而截角六邊形鑲嵌是正六边形镶嵌通过截角操作得到的半正镶嵌，其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性：
| 对称性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
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| {6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
| 半正对偶 | ||||||||||
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| V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 | ||
參見
參考文獻
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 存档副本. [2012-01-20]. （原始内容存档于2010-09-19）. (Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table)
- ^ Asanoha (hemp leaf) （页面存档备份，存于互联网档案馆） mikworks.com [2013-01-04]
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual tessellation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p39